Question

1．已知中心均在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．若|PF₁|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁、e₂，則e₁e₂的取值范圍為（　�。�

• A． $（{\frac{1}{3}，+∞}）$
• B． $（{\frac{2}{3}，1}）$
• C． （2，+∞）
• D． $（{\frac{3}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由條件可得m=10，n=2c，再由橢圓和雙曲線的定義可得a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系求得c的范圍，再由離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．若|PF₁|=10，
即有m=10，n=2c，
由橢圓的定義可得m+n=2a₁，
由雙曲線的定義可得m-n=2a₂，
即有a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），
再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c＞10，
可得c＞$\frac{5}{2}$，即有$\frac{5}{2}$＜c＜5．
由離心率公式可得e₁•e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}•\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{25-{c}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{25}{{c}^{2}}-1}$，
由于1＜$\frac{25}{{c}^{2}}$＜4，則有$\frac{1}{\frac{25}{{c}^{2}}-1}$＞$\frac{1}{3}$．
則e₁•e₂ 的取值范圍為（$\frac{1}{3}$，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查三角形的三邊關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．