Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$-lnx，函數(shù)y=f（|x|）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則2${\;}^{lo{g}_{n}2}$等于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 判斷f（|x|）為偶函數(shù)，x＞0時(shí)，f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)m與函數(shù)y=f（|x|）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，有2m=n，利用函數(shù)圖象交點(diǎn)求解，關(guān)鍵是判斷y=$\frac{1}{x-1}$與y=lnx交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)y=f（|x|）
∴f（|x|）=f（|-x|），f（|x|）為偶函數(shù)，
∴x＞0時(shí)，f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)m與函數(shù)y=f（|x|）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，
有2m=n
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$-lnx，
∴y=$\frac{1}{x-1}$與y=lnx交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$-lnx的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等，


從圖象可知：y=$\frac{1}{x-1}$與y=lnx交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m=2，
∴函數(shù)y=f（|x|）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為n=4，
則2${\;}^{lo{g}_{n}2}$=2${\;}^{lo{g}_{4}2}$=2${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了與一頷首圖象解決函數(shù)零點(diǎn)，問題轉(zhuǎn)化為容易化的函數(shù)圖象求解，利用函數(shù)的對性簡化問題，屬于中檔題，關(guān)鍵是畫圖象．