Question

直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

，（α為參數(shù)），M是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

OP

=2

OM

，
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程C₂；
（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ=

π

3

與曲線C₁，C₂交于不同于原點(diǎn)的點(diǎn)A，B，求|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，得到M的坐標(biāo)，代入曲線C₁后可得點(diǎn)P的軌跡方程C₂；
（2）求出曲線C₁和C₂的極坐標(biāo)方程，聯(lián)立射線θ=

π

3

，求得射線θ=

π

3

與曲線C₁，C₂交于不同于原點(diǎn)的點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)，則|AB|可求．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則由

OP

=2

OM

得M（

x

2

，

y

2

），
∵點(diǎn)M在曲線C₁上，
∴

x 2 =2cosα y 2 =2+2sinα

，即

x=4cosα y=4+4sinα

．
∴曲線C₂的參數(shù)方程為

x=4cosα y=4+4sinα

；
（2）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ，
它們與射線θ=

π

3

交于兩點(diǎn)A，B的極徑分別是ρ1=4sin

π

3

=2

3

，ρ2=8sin

π

3

=4

3

．
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程的有關(guān)內(nèi)容，求解時(shí)既可以化成直角坐標(biāo)方程求解，也可以直接求解，關(guān)鍵是掌握兩種坐標(biāo)系下的曲線與方程的關(guān)系與其他知識(shí)的聯(lián)系，是基礎(chǔ)題．