Question

已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=2

2

，圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1．
（1）求圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值；
（2）圓C經(jīng)過伸縮變換

x′=2x y′=3y

后得到曲線C′，求曲線C′上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：伸縮變換,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：矩陣和變換

分析：（1）可先將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，即得本題的解；
（2）利用伸縮變換得到新的曲線的方程，再利用參數(shù)方程求出點(diǎn)線距離的最小值．

解答： 解：（1）∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=2

2

，
∴ρsinθcos

π

4

+ρcosθsin

π

4

=2

2

，
∵

x=ρcosθ y=ρsinθ

，
∴x+y-4=0．
∵圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1，
∴圓心坐標(biāo)為O（0，0）．
∴圓心O到直線l的距離為：d=

|0+0-4|

12+12

=2

2

．
∴圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為2

2

-1．
（2）∵

x′=2x y′=3y

，
∴

x= x′ 2 y= y′ 3

．
∵x²+y²=1，
∴

x′2

4

+

y′2

9

=1．
在曲線C′：

x′2

4

+

y′2

9

=1上任取一點(diǎn)P′（x′，y′）．
設(shè)

x′=2cosα y′=2sinα

（α為參數(shù)），
則點(diǎn)P′不到直線l的距離為：
d′=

|2cosα+2sinα-4|

12+12

=2|

2

-sin(α+

π

4

)|
≥2

2

-2．
∴曲線C′上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為2

2

-2．

點(diǎn)評：本題考查了直線的極坐標(biāo)方程、曲線的參數(shù)方程、圖象變換以及距離的最值，知識容量較大，屬于中檔題．