Question

已知正項等比數(shù)列{a_n}滿足：log₃a₁+log₃a₃=4，log₃a₅+log₃a₇=12
（l）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）記T_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，如果數(shù)列{b_n}滿足：bn=

1

2Tn

；若存在n∈N*，使不等式：m＜(b1+b2+…+bn)(

3

4

)n成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出a₁a₃=3⁴，a₅a₇=3¹²，進而求出a₂和a₆，然后求出公比，就可以得出數(shù)列的通項公式；
（2）先運用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出T_n，然后求出數(shù)列{b_n}，再根據(jù)單調(diào)性可知n=1時，數(shù)列{b_n}有最小值，即可求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵log₃a₁+log₃a₃=log₃（a₁a₃）=4，log₃a₅+log₃a₇=log₃（a₅a₇）=12
∴a₁a₃=3⁴，a₅a₇=3¹²∴a₂=3²，a₆=3⁶
∴q4=

a6

a2

=34
∵a_n＞0
∴q=3，a_n=a₂q^n-2=9×3^n-2=3ⁿ
（2）由（1）可得T_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=log₃（a₁a₂…a_n）=log3 3

n(n+1)

2

=

n(n+1)

2

∴bn=

1

2Tn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴(b1+b2+…+bn)(

3

4

)n=(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)(

3

4

)n=

n

n+1

(

3

4

)n（*）
由數(shù)列的單調(diào)性可知n=1時，（*）有最小值

3

8

若存在n∈N*，使不等式：m＜(b1+b2+…+bn)(

3

4

)n成立，則只需m＜

3

8

點評：（1）在由等比數(shù)列中的項求通項公式時，要注意靈活利用等比數(shù)列的通項公式a_n=a_mq^n-m
（2）注意本題是存在n∈N*，使不等式：m＜(b1+b2+…+bn)(

3

4

)n成立，則只需m＜（*）的最小值：若把存在n∈N*改為任意n∈N*，使不等式：m＜(b1+b2+…+bn)(

3

4

)n成立，則需m＜（*）的最大值，注意兩者的區(qū)別