Question

函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²-bx的遞減區(qū)間是[-1，2]，則a+b的值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出f′（x），因為函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上是減函數(shù)得到f（-1）和f（2）都小于0分別列出關(guān)于a與b的兩個不等式，聯(lián)立即可解出a的取值范圍得到a的最小值，把a的最小值當然即可求出b的最小值，求出a+b的值即可

解答： 解：f′（x）=x²+2ax-b，
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上是減函數(shù)，即在區(qū)間[-1，2]上，f′（x）≤0，
得到f′（-1）≤0，且f′（2）≤0，代入得1-2a-b≤0①，且4+4a-b≤0②，
由①得2a+b≥1③，由②得b-4a≥4④，
設(shè)u=2a+b≥1，v=b-4a≥4，
假設(shè)a+b=mu+nv=m（2a+b）+n（-4a+b），
=（2m-4n）a+（m+n）b，
對照系數(shù)得：2m-4n=1，m+n=1，解得：m=

5

6

，n=

1

6

，
∴a+b=

5

6

u+

1

6

v≥

3

2

，
則a+b的最小值是

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：此題考查學生會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，靈活運用不等式的范圍求未知數(shù)的最值，是一道綜合題．