Question

已知直線ysinα-xcosα=1，其中α為常數(shù)且α∈[0，2π]．有以下結(jié)論：
①直線l的傾斜角為α；
②無(wú)論α為何值時(shí)，直線l總與一定圓相切；
③若直線l與兩坐標(biāo)軸都相交，則與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1；
④若P（x，y）是直線l上的任意一點(diǎn)，則x²+y²≥1．
其中正確的結(jié)論為

 

．（填序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：舉例說(shuō)明①錯(cuò)誤；由原點(diǎn)到直線l的距離為定值1說(shuō)明②正確；
求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形面積公式，由三角函數(shù)的值域說(shuō)明③正確；
由②得結(jié)論說(shuō)明④正確．

解答： 解：①當(dāng)α=2π時(shí)，直線方程為x=-1，傾斜角為

π

2

，命題①錯(cuò)誤；
②由原點(diǎn)（0，0）到直線ysinα-xcosα=1的距離為d=

|1|

sin2α+cos2α

=1，
∴無(wú)論α為何值時(shí)，直線l總與一定圓x²+y²=1相切，命題②正確；
③化直線方程為截距式：

x

- 1 cosα

+

y

1 sinα

=1，則直線在x軸、y軸上的截距分別為：
-

1

cosα

，

1

sinα

．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=

1

2

|

1

-cosα

||

1

sinα

|=

1

|sin2α|

≥1．命題③正確；
④P（x，y）是直線l上的任意一點(diǎn)，由②可知，直線l總與一定圓x²+y²=1相切，
∴x²+y²≥1，命題④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了直線和圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了三角函數(shù)的有界性，是基礎(chǔ)題．