Question

已知函數(shù)f（x）=mx²+3（m-4）x-9，m為常數(shù)
（1）判斷函數(shù)f（x）是否存在零點(diǎn)，若存在指出存在幾個(gè)；
（2）若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，試確定實(shí)數(shù)m的值，使兩個(gè)零點(diǎn)間的距離最小，并求出這個(gè)最小距離；
（3）設(shè)m＞0，當(dāng)x∈[-3，-

3

2

]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閧y|0≤y≤27}，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)的值域

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分別討論m=0和m≠0兩種情況，利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的零點(diǎn)判斷方法分別判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）利用韋達(dá)定理，將d=|x₁-x₂|轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的函數(shù)，利用配方法求最值即可；
（3）若x∈[-3，-

3

2

]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閧y|0≤y≤27}，則f（x）在[-3，-

3

2

]單調(diào)，由f（-3）=27，可得：f(-

3

2

)=0，進(jìn)而得到m的值．

解答： 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-12x-9，函數(shù)的零點(diǎn)為x=-

3

4

，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)m≠0時(shí)，△=9（m-4）²+36m=（m-2）²+12＞0，
∴函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．
故當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，則m≠0，
x₁+x₂=

12-3m

m

，x₁•x₂=

-9

m

，
∴d=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

( 12-3m m )2+ 36 m

=12

(m- 1 8 )2+ 3 64

≥12×

3 64

=

3 3

2

（m=8時(shí)取等號(hào)），
∴d=|x₁-x₂|的最小值為

3 3

2

；
（3）若x∈[-3，-

3

2

]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閧y|0≤y≤27}，
則f（x）在[-3，-

3

2

]單調(diào)，
∵f（-3）=27，
∴f(-

3

2

)=0
即-

9

4

m+9=0，解得m=4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)零點(diǎn)判斷方法，二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，不等式恒成立問(wèn)題的解法及配方法求二次函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．