Question

2．已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx（a＜0），g（x）=$\frac{4}{x}$，若對任意x₁，x₂∈（0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|g（x₁）-g（x₂）|成立，則實數(shù)a的取值范圍為[-3，0）．

Answer 1

分析 確定函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)g（x）在（0，1]上是減函數(shù)，設(shè)h（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=x-1-alnx+$\frac{4}{x}$，則|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，等價于函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，從而可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），則當(dāng)a＜0時，f′（x）=1-$\frac{a}{x}$＞0恒成立，
此時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又函數(shù)g（x）=$\frac{4}{x}$，在（0，1]上是減函數(shù)
不妨設(shè)0＜x₁≤x₂≤1，
則|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），|g（x₁）-g（x₂）|=$\frac{4}{{x}_{1}}$-$\frac{4}{{x}_{2}}$，
則不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤|g（x₁）-g（x₂）|等價為|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，
即f（x₂）+$\frac{4}{{x}_{2}}$≤f（x₁）+$\frac{4}{{x}_{1}}$
設(shè)h（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=x-1-alnx+$\frac{4}{x}$，
則|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，等價于函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)
∵h′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-ax-4}{{x}^{2}}$，
∴x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-$\frac{4}{x}$在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-$\frac{4}{x}$在（0，1]內(nèi)的最大值．
而函數(shù)y=x-$\frac{4}{x}$在（0，1]是增函數(shù)，∴y=x-$\frac{4}{x}$的最大值為-3
∴a≥-3，
又a＜0，∴a∈[-3，0）．
故答案為：[-3，0）．

點評 本題考查不等式恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強，難度較大，是一道綜合題．