Question

3．已知直線l過定點(diǎn)P（1，0）且與圓C：（x-2）²+（y-2）²=4相交于A、B兩點(diǎn)
（1）若直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，求線段AB中點(diǎn)為M的坐標(biāo)
（2）求當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．過定點(diǎn)P（1，0）且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l方程為y=x-1，與圓的方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．
（2）當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，CA⊥CB，C到直線y=k（x-1）的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$r．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
過定點(diǎn)P（1，0）且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l方程為y=x-1．
代入圓方程可化為2x²-10x+9=0，
∴x₁+x₂=5，
∴x_M=2.5，y_M=1.5．
∴M（2.5，1.5）；
（2）當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，CA⊥CB，C到直線y=k（x-1）的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴$\frac{|2k-2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=-2±$\sqrt{6}$，
∴當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)直線l的方程為y=（-2±$\sqrt{6}$）（x-1）．

點(diǎn)評 本題綜合考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．