Question

13．已知各項(xiàng)非負(fù)的兩數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：對(duì)n∈N^*，都有$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2（$\frac{_{n+2}}{_{n+1}}$）²，a₁=2b${\;}_{2}^{2}$．
（1）如果數(shù)列{$\frac{_{n+1}}{_{n}}$}成等比數(shù)列，求證：數(shù)列{$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$}成等比數(shù)列；
（2）求$\frac{\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{7}}}{_{2}_{3}…_{8}}$的值；
（3）如果數(shù)列{b_n}還滿足：b${\;}_{n+1}^{2}$-b${\;}_{n}^{2}$=2n-1，b₂-b₁=1，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．問(wèn)是否存在常數(shù)p，當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，其中c_n=p（S_n-4a_n-1）+6，如果存在，請(qǐng)求出P，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)數(shù)列{$\frac{_{n+1}}{_{n}}$}成等比數(shù)列可知$\frac{\frac{_{n+2}}{_{n+1}}}{\frac{_{n+1}}{_{n}}}$=q，進(jìn)而代入計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2（$\frac{_{n+2}}{_{n+1}}$）²，a_n＞0、b_n＞0，可知$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$=$\sqrt{2}$•$\frac{_{n+2}}{_{n+1}}$，變形可知數(shù)列{$\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{_{n+1}}$}是以首項(xiàng)、公比均為$\sqrt{2}$的等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（3）通過(guò)b${\;}_{n+1}^{2}$-b${\;}_{n}^{2}$=2n-1、b₂-b₁=1，可知b₁=0、b₂=1，進(jìn)而利用累乘法計(jì)算可知${_{n}}^{2}$=n（n-1），通過(guò)$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+2}^{2}}=2×\frac{{a}_{n}}{_{n+1}^{2}}$可知$\frac{{a}_{n}}{{_{n+1}}^{2}}$=2ⁿ、a_n=n（n+1）•2ⁿ，利用c_n=p（S_n-4a_n-1）+6與c_n+1=p（S_n+1-4a_n）+6作差、整理可得c_n+1-c_n=p（2-n）2ⁿ⁺¹，利用c₃-c₂=0及、數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{$\frac{_{n+1}}{_{n}}$}成等比數(shù)列，
∴$\frac{\frac{_{n+2}}{_{n+1}}}{\frac{_{n+1}}{_{n}}}$=q，
∴$\frac{\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}}{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$=$\frac{2（\frac{_{n+3}}{_{n+2}}）^{2}}{2（\frac{_{n+2}}{_{n+1}}）^{2}}$=$（\frac{\frac{_{n+3}}{_{n+2}}}{\frac{_{n+2}}{_{n+1}}}）^{2}$=q²，
即數(shù)列{$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$}成等比數(shù)列；
（2）解：∵$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2（$\frac{_{n+2}}{_{n+1}}$）²，a_n＞0、b_n＞0，
∴$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$=$\sqrt{2}$•$\frac{_{n+2}}{_{n+1}}$，即$\frac{\sqrt{{a}_{n+1}}}{_{n+2}}$=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{_{n+1}}$，
又∵a₁=2b${\;}_{2}^{2}$，即$\frac{\sqrt{{a}_{1}}}{_{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{_{n+1}}$}是以首項(xiàng)、公比均為$\sqrt{2}$的等比數(shù)列，
∴$\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{_{n+1}}$=${\sqrt{2}}^{n}$=${2}^{\frac{n}{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{7}}}{_{2}_{3}…_{8}}$=${2}^{\frac{1}{2}}$•${2}^{\frac{2}{2}}$•…•${2}^{\frac{7}{2}}$
=${2}^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+…+\frac{7}{2}}$
=${2}^{\frac{1}{2}•\frac{7（7+1）}{2}}$
=2¹⁴；
（3）結(jié)論：存在常數(shù)p=0，當(dāng)n≥2時(shí)數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列．
理由如下：
∵b${\;}_{n+1}^{2}$-b${\;}_{n}^{2}$=2n-1，b₂-b₁=1，
∴${_{2}}^{2}-{_{1}}^{2}$=1，
∴b₂+b₁=1，
∴b₁=0、b₂=1，
∵${_{2}}^{2}-{_{1}}^{2}$=1、${_{3}}^{2}$-${_{2}}^{2}$=3、…、${_{n}}^{2}$-${_{n-1}}^{2}$=2n-3，
累加得：${_{n}}^{2}$-${_{1}}^{2}$=$\frac{n（1+2n-3）}{2}$=n（n-1），
∴${_{n}}^{2}$=n（n-1），
由（2）可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2（$\frac{_{n+2}}{_{n+1}}$）²，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+2}^{2}}=2×\frac{{a}_{n}}{_{n+1}^{2}}$，
又∵$\frac{{a}_{n}}{{_{n+1}}^{2}}$=2ⁿ，
∴a_n=${_{n+1}}^{2}$•2ⁿ=n（n+1）•2ⁿ，
∵c_n=p（S_n-4a_n-1）+6、c_n+1=p（S_n+1-4a_n）+6，
∴c_n+1-c_n=p（a_n+1+4a_n-1-4a_n）
=p[（n+1）（n+2）•2ⁿ⁺¹+4n（n-1）•2^n-1-4n（n+1）•2ⁿ]
=p（2-n）2ⁿ⁺¹，
∴c₃-c₂=p（2-2）2²⁺¹=0，
∵數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，
∴c_n-c_n-1=p（3-n）2ⁿ=0，即p=0，
∴存在常數(shù)p=0，當(dāng)n≥2時(shí)數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．