Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線為y=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：對任意給定的正數(shù)m，總存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，+∞）上不單調(diào)；
（Ⅲ）若點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₂＞x₁＞0）是曲線f（x）上的兩點，試探究：當a＜0時，是否存在實數(shù)x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于f'（x₀）？若存在，給予證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）通過切點坐標以及切點的導數(shù)，求出a，b，通過導函數(shù)f'（x）=0，得x=1，列出f（x），f'（x）的變化情況表，得到函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅱ）才導數(shù)，（1）當a≥0時，f'（x）＞0恒成立，（2）當a＜0時，令f'（x）=0，得x=

- 1 a

，f（x），求出函數(shù)f（x）的增區(qū)間，減區(qū)間，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，+∞）上不單調(diào)，須且只須

- 1 a

＞m，即可推出結果．
（Ⅲ）存在實數(shù)x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于f'（x₀），通過構造新函數(shù)g（x）=lnx-x+1（x＞0），求出g′(x)=

1

x

-1，求出最值推出lnx≤x-1．通過

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=f′(x0)，化簡后，構造p(x)=

1

2

a(x2+x1)-ax，q(x)=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

x

，則p（x），q（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上單調(diào)遞增．令h（x）=p（x）+q（x），證明h（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上單調(diào)遞增，且h（x₁）＜0，h（x₂）＞0，函數(shù)h（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上存在唯一的零點x₀，命題成立．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

f(1)= 1 2 a+b=-1 f′(1)=1+a=0

解得

a=-1 b=- 1 2 .

…（2分）
此時f(x)=lnx-

1

2

x2-

1

2

，f′(x)=

1

x

-x=-

(x-1)(x+1)

x

（x＞0）．
令f'（x）=0，得x=1，f（x），f'（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=

1

x

+ax=

ax2+1

x

（x＞0）．
（1）當a≥0時，f'（x）＞0恒成立，此時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意，舍去．…（5分）
（2）當a＜0時，令f'（x）=0，得x=

- 1 a

，f（x），f'（x）的變化情況如下表：

x	（0， - 1 a ）	- 1 a	（ - 1 a ，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，

- 1 a

），減區(qū)間為（

- 1 a

，+∞）．…（7分）
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，+∞）上不單調(diào)，須且只須

- 1 a

＞m，即-

1

m2

＜a＜0．
所以對任意給定的正數(shù)m，只須取滿足-

1

m2

＜a＜0的實數(shù)a，就能使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，+∞）上不單調(diào)．…（8分）
（Ⅲ）存在實數(shù)x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于f'（x₀）．…（9分）
證明如下：令g（x）=lnx-x+1（x＞0），則g′(x)=

1

x

-1，
易得g（x）在x=1處取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，從而得lnx≤x-1． （*）…（10分）
由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=f′(x0)，得

lnx2-lnx1

x2-x1

+

1

2

a(x2+x1)=

1

x0

+ax0．…（11分）
令p(x)=

1

2

a(x2+x1)-ax，q(x)=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

x

，則p（x），q（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上單調(diào)遞增．
且p(x1)=

1

2

a(x2+x1)-ax1=

1

2

a(x2-x1)＜0，p(x2)=

1

2

a(x2+x1)-ax2=

1

2

a(x1-x2)＞0，
結合（*）式可得，q(x1)=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

x1

=

ln x2 x1

x2-x1

-

1

x1

＜

x2 x1 -1

x2-x1

-

1

x1

=0，q(x2)=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

x2

=

-ln x1 x2

x2-x1

-

1

x2

＞

-( x1 x2 -1)

x2-x1

-

1

x2

=0．
令h（x）=p（x）+q（x），由以上證明可得，h（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上單調(diào)遞增，且h（x₁）＜0，h（x₂）＞0，…（13分）
所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上存在唯一的零點x₀，
即

lnx2-lnx1

x2-x1

+

1

2

a(x2+x1)=

1

x0

-ax0成立，從而命題成立．…（14分）
（注：在（Ⅰ）中，未計算b的值不扣分．）

點評：本小題主要考查函數(shù)導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算及導數(shù)的應用，考查運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想．