Question

14．已知集合A={x|x²-（a+3）x+a²=0}，B={x|x²-x=0}，是否存在實數(shù)a，使A，B同時滿足下列三個條件：①A≠B；②A∪B=B；③∅?（A∩B）？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 首先化簡集合B={0，1}，然后對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實數(shù)a，使得集合A，B能同時滿足下列三個條件，再利用A不可以為空集，那么A={0}或A={1}，求出a的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答 解：由已知B={0，1}，要同時滿足①A≠B②A∪B=B③空集真包含于（A∩B）則A不可以為空集．
假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，那么A={0}或A={1}
①A={0}時，由韋達定理有0+0=a+3，0×0=a²，故a無解
②A={1}時，由韋達定理有1+1=a+3，1×1=a²，故a=-1滿足．
綜上：存在實數(shù)a=-1，使得集合A，B能同時滿足三個條件．

點評 本題主要考查集合的交、并、補集的混合運算、集合的包含關(guān)系判斷及應用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．