Question

1．（1）設(shè)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）最高點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，$\sqrt{2}$）．由最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到相鄰的最低點(diǎn)時(shí)，函數(shù)曲線與x軸的交點(diǎn)為（6，0）．
求A，ω和φ的值；
（2）當(dāng)$x∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，求函數(shù)f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的最高點(diǎn)求出A，求出函數(shù)的周期，即可求ω，利用最高點(diǎn)結(jié)合φ的范圍求出它的值；
（2）利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由$x∈（0，\frac{π}{2}）$，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），從而解得f（x）∈（-$\sqrt{3}$，2]．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）由題意最高點(diǎn)D（2，$\sqrt{2}$）可得：A=$\sqrt{2}$．
由題意$\frac{T}{4}$=6-2=4，T=16，T=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=$\frac{π}{8}$．
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$+φ），
∵函數(shù)圖象過最高點(diǎn)D（2，$\sqrt{2}$），
∴$\frac{π}{8}$×2+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，可得：φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，結(jié)合范圍：|φ|＜π，可解得：φ=$\frac{π}{4}$．
綜上，A=$\sqrt{2}$，ω=$\frac{π}{8}$，φ=$\frac{π}{4}$．
（2）∵f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，∴可得：2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴解得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈（-$\sqrt{3}$，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．