Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，當數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{1}{n+1}$，n∈N*，我們記實數(shù)λ為S_2n-S_n的最小值，那么數(shù)列b_n=$\frac{1}{n-100λ}$，n∈N*取得最大值時的項數(shù)n為34．

Answer 1

分析 a_n=$\frac{1}{n+1}$，n∈N*，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n+1}$=f（n），研究其單調(diào)性可得：f（n）單調(diào)遞增，n=1時，S_2n-S_n取得最小值f（1）=$\frac{1}{3}$=λ，于是b_n=$\frac{1}{n-100λ}$=$\frac{1}{n-\frac{100}{3}}$，對n分類討論，利用單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{n+1}$，n∈N*，
∴S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n+1}$=f（n），
f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n+4}$-$\frac{1}{2n+4}$＞0，
因此f（n）單調(diào)遞增，∴n=1時，S_2n-S_n取得最小值f（1）=$\frac{1}{3}$=λ，
∴b_n=$\frac{1}{n-100λ}$=$\frac{1}{n-\frac{100}{3}}$，
n≤33時，b_n＜0；
n≥34時，b_n＞0，并且單調(diào)遞減．
因此取得最大值時的項數(shù)n=34．
故答案為：34．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．