Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}是有窮數(shù)列，且a₁∈R，公差d=2，記{a_n}的所有項(xiàng)之和為S，若a₁²+S≤96，則數(shù)列{a_n}至多有12項(xiàng)．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合一元二次不等式的解法與步驟，利用判別式列出不等式，求出解集即可．

解答 解：等差數(shù)列{a_n}是有窮數(shù)列，且a₁∈R，公差d=2，記{a_n}的所有項(xiàng)之和為S，
∴S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=na₁+n（n-1）；
又a₁²+S≤96，
∴${{a}_{1}}^{2}$+na₁+n（n-1）≤96，
即${{a}_{1}}^{2}$+na₁+（n²-n-96）≤0；
∴△=n²-4（n²-n-96）≥0，
即3n²-4n-384≤0，
解得-$\frac{32}{3}$≤n≤12；
∴數(shù)列{a_n}至多有12項(xiàng)．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了等差數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．