Question

定義在R上的函數(shù)f（x），對任意的實數(shù)x都有f（x+2）=f（x+1）-f（x），且f（1）=lg3-lg2，f（2）=lg3+lg5，則f（2013）=

 

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Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：由f（x+2）=f（x+1）-f（x），將x換成x-1、再將x換為x-1，將x換為x+3，得到f（x）為最小正周期是6的周期函數(shù)，從而f（2013）=f（6×335+3）=f（3），再由條件即可得到答案．

解答： 解：∵對任意x∈R，有f（x+2）=f（x+1）-f（x）①，
將x換成x-1得，f（x+1）=f（x）-f（x-1）②，
∴由①②得，f（x+2）=-f（x-1），
將x換為x-1，得，f（x+3）=-f（x），
再將x換為x+3，得f（x+6）=f（x），
即f（x）為最小正周期是6的周期函數(shù)，
∴f（2013）=f（6×335+3）=f（3）
=f（2）-f（1）=lg3+lg5-（lg3-lg2）
=lg5+lg2=lg10=1．
故答案為：1．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，正確賦值和賦式是迅速解題的關鍵，考查函數(shù)的周期性及應用，屬于中檔題．