Question

1．等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足：S₃=15，a₅+a₉=30．
（I）求a_n及S_n；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n（S_n-n）=2（n∈N₊），數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差是d，根據(jù)題意和等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式列出方程組，求出a₁和d的值，代入公式求出a_n及S_n；
（Ⅱ）由題意和（Ⅰ）求出b_n，再利用裂項相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，即可證明T_n＜2．

解答 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差是d，
∵S₃=15，a₅+a₉=30，∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=15}\\{2{a}_{1}+12d=30}\end{array}\right.$，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，
S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n；
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n（S_n-n）=2，則b_n（n²+n）=2，
∴$_{n}=\frac{2}{{n}^{2}+n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2[（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）]
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2，
∴對于任意正整數(shù)n，有T_n＜2成立．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，裂項相消法求數(shù)列的前n項和，以及方程思想，屬于中檔題．