Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-eⁿx+（n-1）eⁿ+ax²．n∈N，
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：e^x≥eⁿ（x-n+1）；
（Ⅲ）當(dāng)n=0時(shí)，若f（x）≥0對(duì)于任意x∈[0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a的值代入f（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值，從而證出結(jié)論；
（Ⅲ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a的具體范圍．

解答 若?x₁，x₂∈R使得f（x₁）≤g（x₁）成立，（Ⅰ）解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=e^x-eⁿx+（n-1）eⁿ，f′（x）=e^x-eⁿ，
當(dāng)x∈（-∞，n）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（n，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，n），f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（n，+∞）；
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，若a=0，則當(dāng)x=n時(shí)，f（x）取得極小值，即最小值，
∴f（x）_min=f（n）=0，即f（x）≥0，
∴e^x≥eⁿ（x-n+1），當(dāng)且僅當(dāng)x=n時(shí)等號(hào)成立；
解：（Ⅲ）當(dāng)n=0時(shí)，f（x）=e^x-x-1+ax²，f′（x）=e^x-1+2ax，
由（Ⅱ）知e^x≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立．
∴f′（x）≥x+2ax=（1+2a）x，
∴當(dāng)1+2a≥0，即a≥-$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）≥0（x≥0），f（x）單調(diào)遞增，而f（0）=0，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，
又由e^x＞1+x（x≠0），可得e^-x＞1-x（x≠0），即-x＜e^-x-1，（x≠0），
∴當(dāng)a＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＜e^x-1-2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x+2a），
∴當(dāng)x∈（0，ln（-2a））時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
而f（0）=0，此時(shí)f（x）＜0，
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．