Question

5．已知函數(shù)f（x）=lg（3-4x+x²）的定義域為M．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及值域；
（2）當x∈M時，關(guān)于x的方程1og₂（3-x）-1og₂（1+x）=b（b∈R）有實數(shù)根，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，3-4x+x²＞0從而解出M={x|x＞3或x＜1}，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域即可；
（2）令h（x）=1og₂（3-x）-1og₂（1+x），求出h（x）的定義域，從而求出h（x）的值域，得到b的范圍即可．

解答 解：由題意，3-4x+x²＞0，
解得，x＞3或x＜1，
即M={x|x＞3或x＜1}，
（1）令g（x）=x²-4x+3，（x＞3或x＜1），對稱軸x=2，
∴g（x）在（-∞，1）遞減，在（3，+∞）遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，
f（x）在（-∞，1）遞減，在（3，+∞）遞增，
x→∞時，f（x）→+∞，
∴f（x）的值域是R；
（2）令h（x）=1og₂（3-x）-1og₂（1+x），
由$\left\{\begin{array}{l}{3-x＞0}\\{1+x＞0}\\{x＞3或x＜1}\end{array}\right.$，解得：-1＜x＜1，
∴h（x）=${log}_{2}^{\frac{3-x}{1+x}}$，（-1＜x＜1），
令z=$\frac{3-x}{1+x}$=-1+$\frac{4}{x+1}$，
∴z∈（1，+∞），
∴h（x）＞${log}_{2}^{z}$＞${log}_{2}^{1}$=0，
∴b＞0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查函數(shù)的定義域、值域問題，是一道中檔題．