Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x²e^x
（1）若函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$-m在（0，+∞）上存在零點，求m的最小值．
（2）若f（x）＜ax與f（x）＜a²對x∈（-∞，0）恰有一個恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求出g（x）的最小值，從而求出m的最小值即可；
（2）求出f（x）的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象結(jié)合圖象，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴g（x）_min=g（1）=e，
∴若函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$-m在（0，+∞）上存在零點，
只需m≥g（x）_min=g（1）=e，
∴m的最小值是e；
（2）令f′（x）=2xe^x+x²e^x=e^x（x²+2x）=0，得x=-2，
令f′（x）＞0，解得：x＜-2，令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜0，
∴f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，0）遞減，
∴當(dāng)x=-2時，函數(shù)有極大值即最大值，且f（-2）=4e^-2，
畫出函數(shù)圖象，如圖示：
，
若f（x）＜ax與f（x）＜a²對x∈（-∞，0）恰有一個恒成立，
顯然f（x）≥ax且f（x）＜a²恒成立，由a²＞4e^-2，解得a＞$\frac{2}{e}$或a＜-$\frac{2}{e}$（舍），
故a＞$\frac{2}{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．