Question

1．已知數(shù)列{x_n}、{y_n}中的項依次由如圖所示的程序框圖輸出的x，y的值確定．
（1）分別寫出數(shù)列{x_n}、{y_n}的遞推公式；
（2）寫出y₁，y₂，y₃，y₄，猜想{y_n}的一個通項公式y(tǒng)_n，并加以證明；
（3）設(shè)z_n=$\frac{{{{（-1）}^n}（{y_n}+1）}}{x_n^2-10}$，是否存在n₀∈N^*，使得對任意n∈N^*（n≤2012）都有z_n0≤z_n，若存在，求出n₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由由程序框圖可知x_n+1=x_n+2，x₁=1，代入遞推公式可得x₁，x₂，x₃，x₄，的值，進而根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得{x_n}是首項為x₁=1公差為2的等差數(shù)列，進而得到其通項公式；
（2）由程序框圖可知y_n+1=3y_n+2，y₁=2，代入遞推公式可得y₁，y₂，y₃，y₄，的值，進而猜想出數(shù)列{y_n}的一個通項公式y(tǒng)_n，理由綜合法，可證明結(jié)論．
（3）利用（2）的結(jié)論不難得到Z_n的通項公式，則易得的Z_n+1-Z_n的值，所以根據(jù)該值來求滿足條件的n₀的值．

解答 解：（1）由程序框圖可知：
x_n+1=x_n+2，
x₁=1，x₂=3，x₃=5，x₄=7
∴{x_n}是首項為x₁=1公差為2的等差數(shù)列，
∴x_n=1+（n-1）2=2n-1，
即{x_n}的通項公式為x_n=2n-1，
（2）由程序框圖可知y_n+1=3y_n+2，
∵y₁=2，∴y₂=8，y₃=26，y₄=80，
猜想y_n=3ⁿ-1，以下為證明：
∵y_n+1=3y_n+2，∴y_n+1+1=3（y_n+1），
∴{y_n+1}是首項為y₁+1=3，公比為3，
的等比數(shù)列，∴y_n+1=3ⁿ，
∴y_n=3ⁿ-1．
（3）由（1）知，x_n=2n-1（n∈N^*且n≤2012），于是Z_n=$\frac{{y}_{n}+1}{{{x}_{n}}^{2}-2012}$=$\frac{{3}^{n}}{（2n-1）^{2}-2012}$．
顯然當n＜23時，Z_n＞0；
當n≥23時，Z_n＞0，
∴當Z_n最小時，n＜23，
設(shè)Z_n+1-Z_n=$\frac{{3}^{n+1}}{（2n+1）^{2}-2012}$-$\frac{{3}^{n}}{（2n-1）^{2}-2012}$=$\frac{（8{n}^{2}-16n-4022）•{3}^{n}}{[（2n+1）^{2}-2012][（2n-1）^{2}-2012]}$≥0，
解得：n≥1+$\frac{\sqrt{2015}}{2}$≈23.4，
∴當n＜23時，Z_n+1＜Z_n，即且0＜Z₂₂＜Z₂₁＜Z₂₀＜…＜Z₁，
∴Z_n-≥Z₂₂，
∴對任意n∈N^*且n≤2012），即存在n₀=22滿足條件．

點評 本題考查的知識點是循環(huán)結(jié)構(gòu)，等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的通項公式，等差關(guān)系的確定，等比關(guān)系的確定，正確理解流程圖所表示的含義，分析出數(shù)列{x_n}與數(shù)列{y_n}的遞推公式，即可得到答案．