Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=a_n+λ•2ⁿ，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，其中n∈N^*．
（1）求實(shí)數(shù)λ的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式$\frac{p}{2n-5}$≤$\frac{16}{{a}_{n}}$成立的自然數(shù)n恰有3個(gè)，求正整數(shù)p的值．

Answer 1

分析 （1）可求得a₁=2，a₂=2+2λ，a₃=2+6λ；從而可得2（2+2λ+1）=2+2+6λ，從而求λ；再利用累加法求通項(xiàng)公式；
（2）化簡可得$\frac{p}{2n-5}$≤$\frac{16}{{2}^{n}}$，分類討論，當(dāng)n≥3時(shí)，P≤$\frac{16}{{2}^{n}}$（2n-5），從而判斷當(dāng)n≥4時(shí)，$\frac{16}{{2}^{n}}$（2n-5）隨著n的增大而減小，從而求得．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=a_n+λ•2ⁿ，
∴a₂=a₁+λ•2=2+2λ，a₃=a₂+4λ=2+6λ；
∵a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，
∴2（2+2λ+1）=2+2+6λ，
解得，λ=1；
故a_n+1-a_n=2ⁿ，
故a₂-a₁=2，a₃-a₂=4，…，a_n-a_n-1=2^n-1，
故a_n-a₁=2+4+8+…+2^n-1=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2ⁿ-2，
故a_n-2=2ⁿ-2，
故a_n=2ⁿ；
（2）∵$\frac{p}{2n-5}$≤$\frac{16}{{a}_{n}}$，∴$\frac{p}{2n-5}$≤$\frac{16}{{2}^{n}}$，
∵P＞0，∴當(dāng)n=1，2時(shí)，上式一定成立；
當(dāng)n≥3時(shí)，P≤$\frac{16}{{2}^{n}}$（2n-5），
而$\frac{\frac{16}{{2}^{n+1}}（2n+2-5）}{\frac{16}{{2}^{n}}（2n-5）}$=$\frac{2n-3}{2（2n-5）}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2n-5}$，
故當(dāng)n≥4時(shí)，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2n-5}$≤1，
故$\frac{16}{{2}^{n}}$（2n-5）隨著n的增大而減小，
而$\frac{16}{8}$×1=2，$\frac{16}{16}$×3=3，$\frac{16}{32}$×5=2.5，
∵不等式$\frac{p}{2n-5}$≤$\frac{16}{{a}_{n}}$成立的自然數(shù)n恰有3個(gè)，
∴a₁，a₂，a₄成立，
故p=3．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了累加法的應(yīng)用及方程思想與分類討論的思想應(yīng)用．