Question

15．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$（λ∈R），其中$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$為不共線的單位向量，若對(duì)符合上述條件的任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$恒有|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥$\frac{\sqrt{3}}{4}$，則$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$夾角的最小值為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5}{6}π$

Answer 1

分析 根據(jù)條件$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，從而求得${\overrightarrow}^{2}={λ}^{2}+2cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞λ+1$，而根據(jù)題意可知需滿足$|\overrightarrow|≥\frac{\sqrt{3}}{2}$恒成立，從而得到${λ}^{2}+2cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞λ+\frac{1}{4}≥0$對(duì)任意的λ∈R恒成立，從而有△≤0，這樣即可得到$-\frac{1}{2}≤cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞≤\frac{1}{2}$，從而可以求出$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$夾角的范圍，從而便可得出$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$夾角的最小值．

解答 解：${\overrightarrow}^{2}=（\overrightarrow{{e}_{1}}+λ\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}={λ}^{2}+2cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞λ+1$；
由$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|≥\frac{\sqrt{3}}{4}$得，${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=|\overrightarrow{|}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}|\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞+\frac{3}{16}≥\frac{3}{16}$；
∴$|\overrightarrow{|}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}|\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞≥0$；
∴$|\overrightarrow|≥\frac{\sqrt{3}}{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$；
∴$|\overrightarrow|≥\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴${\overrightarrow}^{2}≥\frac{3}{4}$；
∴${λ}^{2}+2cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞λ+1≥\frac{3}{4}$恒成立；
∴${λ}^{2}+2cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞λ+\frac{1}{4}≥0$對(duì)任意λ∈R恒成立；
∴$△=4co{s}^{2}＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞-1≤0$；
∴$-\frac{1}{2}≤cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞≤\frac{1}{2}$；
∴$\frac{π}{3}≤＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞≤\frac{2π}{3}$；
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$夾角的最小值為$\frac{π}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量減法的三角形法則，二次函數(shù)取值情況和判別式△的關(guān)系，向量夾角的范圍，要熟悉余弦函數(shù)的圖象．