Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)既有極大值，又有極小值，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合極值的大小即可證出有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)既有極大值，又有極小值，所以有兩個(gè)正根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出的取值范圍．

（1），，，

解，得，，

列表如下：

		1		2
	+	0	﹣	0	+
		極大值		極小值

因?yàn)闃O大值，所以在無零點(diǎn)，從而在無零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>，，所以在有零點(diǎn)，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，所以在有唯一零點(diǎn)，即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2），

∵函數(shù)在定義域內(nèi)既有極大值，又有極小值，∴有兩個(gè)正根，

即有兩個(gè)正根、，

所以，，

解得，

∴的取值范圍為．