Question

12．已知平行四邊形ABCD的周長為18，AC=$\sqrt{65}$，BD=$\sqrt{17}$，求平行四邊形的面積．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)AB=x，則BC=9-x．設(shè)∠DAB=α．在△ABD與△ABC中，由余弦定理可得：BD²=（9-x）²+x²-2x（9-x）cosα，AC²=（9-x）²+x²-2x（9-x）cos（π-α），聯(lián)立消去α，解出x，再利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)AB=x，則BC=9-x．設(shè)∠DAB=α．
在△ABD與△ABC中，由余弦定理可得：
BD²=（9-x）²+x²-2x（9-x）cosα，AC²=（9-x）²+x²-2x（9-x）cos（π-α），
∴17+65=2（9-x）²+2x²，
化為x²-9x+20=0．
解得x=4或5，
不妨設(shè)AB=5，BC=4，
∴cosα=$\frac{{5}^{2}+{4}^{2}-17}{2×5×4}$=$\frac{3}{5}$，
∴$sinα=\frac{4}{5}$．
∴平行四邊形的面積S=$5×4×\frac{4}{5}$=16．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、余弦定理、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．