Question

17．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\sqrt{3}m}\\{y=-\sqrt{3}t-2m}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），若以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ（1-cos2θ）=8cosθ
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）若直線l與曲線C相切，求直線l與坐標軸圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）利用公式與$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出；
（2）由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)化為：y=$-\sqrt{3}x$+m，代入拋物線方程可得：3x²-$（2\sqrt{3}m+4）$x+m²=0，由于直線l與曲線C相切，可得△=0，解出m即可得出．

解答 解：（1）由曲線C的極坐標方程為ρ（1-cos2θ）=8cosθ，化為ρ²•2sin²θ=8ρcosθ，∴y²=4x．
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\sqrt{3}m}\\{y=-\sqrt{3}t-2m}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為：y=$-\sqrt{3}x$+m，
代入拋物線方程可得：3x²-$（2\sqrt{3}m+4）$x+m²=0，
∵直線l與曲線C相切，
∴△=$（2\sqrt{3}m+4）^{2}$-12m²=0，
化為$m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線l的方程為：$y=-\sqrt{3}x$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得與坐標軸的交點$（0，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$或$（-\frac{1}{3}，0）$．
∴直線l與坐標軸圍成的三角形的面積S=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{18}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與拋物線相切問題轉(zhuǎn)化為一元二次的判別式滿足的條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．