Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，-

3

2

）．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如果斜率為

1

2

的直線(xiàn)EF與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)E、F，試判斷直線(xiàn)AE、AF的斜率之和是否為定值，若是請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）試求三角形AEF面積S取得最大值時(shí)，直線(xiàn)EF的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的離心率e=

1

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，-

3

2

），建立方程，求出a，b，即可求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)EF的方程為：y=

1

2

x+m，代入

x2

4

+

y2

3

=1，求出直線(xiàn)AE、AF的斜率之和，即可得出結(jié)論；
（3）求出三角形AEF面積S，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可求出直線(xiàn)EF的方程．

解答： 解：（1）由題意，e=

c

a

=

1

2

，…．（1分）
橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1，-

3

2

)，∴

(-1)2

a2

+

(- 3 2 )2

b2

=1，
又a²=b²+c²，解得b²=3，a²=4，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…．（3分）
（2）設(shè)直線(xiàn)EF的方程為：y=

1

2

x+m，代入

x2

4

+

y2

3

=1
得：x²+mx+m²-3=0．△=m²-4（m²-3）＞0且

x1+x2=-m x1x2=m2-3

；…．（4分）
設(shè)A（x₀，y₀），由題意，kAE=

y1-y0

x1-x0

，kAF=

y2-y0

x2-x0

；…．（5分）
∴kAE+kAF=

y1-x0

x1-x0

+

y2-x0

x2-x0

=

(y1-x0)(x2-x0)+(y2-x0)(x1-x0)

(x1-x0)(x2-x0)

分子為：t=y₁x₂+y₂x₁-x₀（y₁+y₂）-y₀（x₁+x₂）+2x₀y₀
又y1=

1

2

x1+m，y2=

1

2

x2+m，
∴t=（x₁+x₂）（y₁+y₂）-x₁y₁-x₂y₂-x₀（y₁+y₂）-y₀（x₁+x₂）+2x₀y₀
=（m+2）（x₁+x₂）+x₁x₂+2m+3=（m+2）（-m）+m²-3+2m+3=0，
∴k_AE+k_AF=0．
即直線(xiàn)AE、AF的斜率之和是為定值0．…．（8分）
（3）|EF|=

1+k2

|x₁-x₂|=

5

2

12-3m2

，d=

|1+m|

5 2

，
∴S=

1

2

12-3m2

|m+1|，
設(shè)f（m）=S²=-

3

4

m4-

3

2

m3+

9

4

m2+6m+3，
∴f′（m）=-

3

2

（m+1）（2m²+m-4），
令f′（m）=0，可得m=-1或m=

-1± 33

4

，
∵-2＜m＜2，
∴f（m）在（-2，

-1- 33

4

），（-1，

-1+ 33

4

）上單調(diào)遞增，在（

-1- 33

4

，-1），（

-1+ 33

4

，2）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在m=

-1+ 33

4

時(shí)取得最大值，
∴直線(xiàn)方程為y=

1

2

x+

-1+ 33

4

．．…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．