Question

已知圓心為C的圓（x-1）²+y²=6內(nèi)有點(diǎn)P（2，2），過(guò)點(diǎn)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)．  
（1）當(dāng)l經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，求直線l的方程；
（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線l的方程． 
（3）當(dāng)△ACB的面積為

5

時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）由條件利用兩點(diǎn)式求得直線l的方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)果．
（2）由CP和直線l垂直，求得直線l的斜率，再用點(diǎn)斜式求得直線l的方程．
（3）若直線l的斜率不存在，檢驗(yàn)滿足△ACB的面積為

5

．若直線l的斜率k存在，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程，由△ACB的面積為

5

，求得sin∠ACB=

5

3

，cosACB=

2

3

，由余弦定理求得弦長(zhǎng)AB，可得得弦心距d=

2

．再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得d，可得k的值，從而求得要求的直線l的方程．

解答： 解：（1）由于直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（2，2），當(dāng)l經(jīng)過(guò)圓心C（1，0）時(shí)，
由兩點(diǎn)式求得直線l的方程為

y-0

2-0

=

x-1

2-1

，即 2x-y-2=0．
（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，CP和直線l垂直，故直線l的斜率為

-1

KCP

=

-1

2-0 2-1

=-

1

2

，
用點(diǎn)斜式求得直線l的方程為 y-2=-

1

2

（x-2），即 x+2y-6=0．
（3）當(dāng)△ACB的面積為

5

時(shí)，若直線l的斜率不存在，方程為x=2，代入圓的方程求得y=±

5

，
此時(shí)AB=2

5

，圓心C到直線l的距離為1，滿足△ACB的面積為

5

．
若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-2），即 kx-y+2-2k=0．
由于△ACB的面積為

1

2

•r•r•sin∠ACB=

1

2

×6×sin∠ACB=

5

，∴sin∠ACB=

5

3

，故cosACB=

2

3

，
由余弦定理可得AB²=r²+r²-2r•r•cosACB=6+6-12×

2

3

=4，
再由弦長(zhǎng)公式求得弦心距d=

r2-( AB 2 )2

=

2

．
再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得 d=

|k-0+2-2k|

k2+1

=

2

，求得k=-2+

6

，或k=-2-

6

，
故要求的直線l的方程為 （

6

-2）x-y+6-2

6

=0，或 （

6

+2）x+y-2

6

-6=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．