Question

14．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期及其單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若將函數(shù)f（x）的圖象平移Φ個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，求|Φ|的最小值；
（4）求函數(shù)y=f（x-3）+f（2x+7）（x∈[0，2]）的值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦函數(shù)圖象的特點(diǎn)可得周期T，結(jié)合圖象可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由周期性可得ω=$\frac{π}{4}$，可得A=2，代入點(diǎn)（7，-2）可得φ值，可得解析式；
（3）由函數(shù)圖象變換和偶函數(shù)可得$\frac{π}{4}$Φ-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得Φ=4k+3，k∈Z，給k取值可得|Φ|的最小值；
（4）代入化簡(jiǎn)可得y=-4sin²$\frac{π}{4}$x-2sin$\frac{π}{4}$x+2，由二次函數(shù)區(qū)間的值域可得．

解答 解：（1）由正弦函數(shù)圖象的特點(diǎn)可知周期T滿足$\frac{3}{4}$T=7-1，
解得周期T=8，結(jié)合圖象可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[8k+3，8k+7]，k∈Z；
（2）由（1）可得$\frac{2π}{ω}$=8，解得ω=$\frac{π}{4}$，A=2，故f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+φ），
代入點(diǎn)（7，-2）可得-2=2sin（$\frac{π}{4}$×7+φ），
結(jié)合|φ|＜$\frac{π}{2}$可得φ=-$\frac{π}{4}$，故函數(shù)解析式為f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{4}$）；
（3）將函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{4}$）的圖象平移Φ個(gè)單位，
得到函數(shù)的解析式為y=2sin[$\frac{π}{4}$（x+Φ）-$\frac{π}{4}$）]=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$Φ-$\frac{π}{4}$），
由偶函數(shù)可得$\frac{π}{4}$Φ-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得Φ=4k+3，k∈Z，
取k=-1時(shí)，可得Φ=-1，此時(shí)|Φ|取最小值1；
（4）函數(shù)y=f（x-3）+f（2x+7）
=2sin[$\frac{π}{4}$（x-3）-$\frac{π}{4}$）]+2sin[$\frac{π}{4}$（2x+7）-$\frac{π}{4}$）]
=2sin（$\frac{π}{4}$x-π）+2sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{3π}{2}$）
=-2sin$\frac{π}{4}$x+2cos$\frac{π}{2}$x
=-2sin$\frac{π}{4}$x+2（1-2sin²$\frac{π}{4}$x）
=-4sin²$\frac{π}{4}$x-2sin$\frac{π}{4}$x+2，
∵x∈[0，2]，∴$\frac{π}{4}$x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴sin$\frac{π}{4}$x∈[0，1]，
由二次函數(shù)可知當(dāng)sin$\frac{π}{4}$x=0時(shí)，函數(shù)取最大值2，
當(dāng)sin$\frac{π}{4}$x=1時(shí)，函數(shù)取最小值-4，
故函數(shù)的值域?yàn)椋篬-4，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的圖象，涉及函數(shù)圖象的變換和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．