Question

6．已知{a_n}為等差數(shù)列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12
（1）求{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）記{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁，a_k+1，S_k+3成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差等于d，則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+2d=8}\\{2{a}_{1}+4d=12}\end{array}\right.$，解得 a₁=2，d=2，從而得到{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得 {a_n}的前n項(xiàng)和為S_n =$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n（n+1），再由a_k+1²=a₁S_k+3 ，求得正整數(shù)k的值．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差等于d，
則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+2d=8}\\{2{a}_{1}+4d=12}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=2，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式a_n =2+2（n-1）=2n；
（2）由（1）可得 {a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n（n+1），
∵a₁，a_k+1，S_k+3成等比數(shù)列，∴a_k+1²=a₁S_k+3，
∴4（k+1）² =2（k+3）（k+4），
解得k=5或k=-2（舍去），
故k=5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．