Question

設(shè){x}表示離x最近的整數(shù)，即若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（m∈Z），則{x}=m．給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）的定義域是R，值域是[0，

1

2

]；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；
③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期是1；
④函數(shù)y=f（x）在[2，

5

2

]上是增函數(shù)．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，理解什么是“m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)”，再根據(jù)函數(shù)f（x）=|x-{x}|的表達(dá)式進(jìn)行分析判斷，即可得出正確的命題．

解答： 解：對于①，∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），
∴-

1

2

＜x-m≤

1

2

，∴0≤|x-m|≤

1

2

，
∴函數(shù)f（x）=|x-{x}|=|x-m|的值域?yàn)閇0，

1

2

]，①正確；
對于②，由定義知：當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，m=-1，∴f（-

1

2

）=|-

1

2

-（-1）|=

1

2

；
當(dāng)-

1

2

＜x≤

1

2

時(shí)，m=0，∴f（x）=|x-0|=|x|≤

1

2

，
∴x∈[-

1

2

，

1

2

]時(shí)，f（x）=|x|關(guān)于y軸對稱；
且函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱，②正確；
對于③，由-

1

2

＜x-m≤

1

2

得-

1

2

＜（x+1）-（m+1）≤

1

2

，
∴{x+1}={x}+1=m+1，∴f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
∴函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1，③正確；
對于④，當(dāng)x∈[-

1

2

，

1

2

]時(shí)，f（x）=|x|關(guān)于y軸對稱，
且函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1，
函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱，
∴f（x）在[2，

5

2

]上是增函數(shù)，④正確．
綜上，正確的命題是①②③④．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了新定義的函數(shù)的概念與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)理解新定義的概念，再根據(jù)定義進(jìn)行解答問題，是較難的題目．