Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n滿足S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），則數(shù)列{a_na_n+1}的前n項(xiàng)的和為$\frac{{2}^{2n+1}-2}{3}$．

Answer 1

分析 由遞推公式求出a_n=2^n-1，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可．

解答 解：∵S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），
∴S_n+1=2ⁿ⁺¹-1（n∈N^*），
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2^n-1，
∴a_na_n+1=2^2n-1，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=2¹+2³+2⁵+2^2n-1=$\frac{2（1-{2}^{2n}）}{1-4}$=$\frac{{2}^{2n+1}-2}{3}$，
故答案為：$\frac{{2}^{2n+1}-2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．