Question

5．若（x+$\frac{1}{2x}$）ⁿ的二項(xiàng)展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則常數(shù)n的值為8．

Answer 1

分析 根據(jù)（x+$\frac{1}{2x}$）ⁿ的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，寫出它的前三項(xiàng)系數(shù)，利用等差數(shù)列求出n的值．

解答 解：∵（x+$\frac{1}{2x}$）ⁿ的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{n}^{r}$•x^n-r•${（\frac{1}{2x}）}^{r}$=${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${C}_{n}^{r}$•x^n-2r，
前三項(xiàng)的系數(shù)為1，$\frac{n}{2}$，$\frac{n（n-1）}{8}$，
∴n=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，
解得n=8或n=1（不合題意，舍去），
∴常數(shù)n的值為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．