Question

已知橢圓C的兩個焦點分別為F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），短軸的兩個端點分別為B₁，B₂；且△F₁B₁B₂為等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于點M，N，且OM⊥ON，試證明直線l與圓x²+y²=2相切．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據求橢圓C的兩個焦點坐標，結合△F₁B₁B₂為等腰直角三角形，建立方程組，求出a，b，即可求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，當直線的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合OM⊥ON，所以

OM

•

ON

=0，可得m²=2（k²+1），求出點O到直線l的距離，與圓的半徑比較，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
根據題意知

a2+a2=4b2 a2-b2=3

，解得a²=6，b²=3…4分
故橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

3

=1．…5分
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，易知△OMN為等腰直角三角形，
設點M（x₀，x₀），代入橢圓方程得x0=±

2

，即直線l方程為x=±

2

，符合題意； …6分
當直線的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m．
由

y=kx+m x2 6 + y 3 2=1

，消去y得：（2k²+1）x²+4kmx+（2m²-6）=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則 x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-6

2k2+1

①
從而y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2②…8分
因為OM⊥ON，所以

OM

•

ON

=0，即 x₁x₂+y₁y₂=0，
將①②代入得：x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=

1

2k2+1

[(k2+1)(2m2-6)+km(-4km)+m2(2k2+1)]=0
化簡得：

1

2k2+1

(3mk2-6k2-6)=0⇒3mk2-6k2-6=0，
故m²=2（k²+1）…10分
另一方面，點O到直線l的距離為d=

|m|

1+k2

=

m2 1+k2

=

2(k2+1) 1+k2

=

2

；…12分
故直線l與圓x²+y²=2相切．…13分．

點評：本題考查橢圓的方程與性質、直線與二次曲線的位置關系，考查韋達定理，考查向量知識的運用，考查直線與圓的位置關系，正確運用韋達定理是關鍵．