Question

已知平面直角坐標系中

OA

=（2

2

，0），滿足

OB

+

OA

=

0

，平面內有一動點E使得|

BE

-

BA

|+|

AE

-

AB

|=6．
（1）求動點E的軌跡方程C；
（2）過曲線C上的動點P向圓x²+y²=1引切線PA，PB，其中A，B為切點且直線AB交x軸，y軸于M，N，求△MON面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由已知向量的坐標和向量等式求出

OB

的坐標，再由|

BE

-

BA

|+|

AE

-

AB

|=6得到|

AE

|+|

BE

|=6．由此可知動點E的軌跡為橢圓，結合橢圓定義求得橢圓方程；
（2）設出P點坐標，得到以|OP|為直徑的圓的方程，與已知圓的方程聯立得到過切點A，B的直線方程，求得直線與坐標軸的交點，由兩點間的距離公式求得MN的距離，再由點到直線的距離公式求得O到MN的距離，代入三角形的面積公式，然后把P點的坐標代入橢圓方程利用基本不等式求面積的最小值．

解答： 解：（1）∵

OA

=（2

2

，0），且

OB

+

OA

=

0

，
∴

OB

=-

OA

=(-2

2

，0)，
又|

BE

-

BA

|+|

AE

-

AB

|=6，即|

AE

|+|

BE

|=6．
∴動點E的軌跡為以B，A為焦點，6為長軸的橢圓，
由2a=6，a=3，c=2

2

，
∴b²=a²-c²=9-8=1．
∴動點E的軌跡方程C：

x2

9

+y2=1；
（2）設點P（x₀，y₀），則以|OP|為直徑的圓的方程為x2-x0x+y2-y0y=0．
與圓的方程x²+y²=1相減得：x₀x+y₀y=1，此方程即是過切點A，B的直線方程（x₀y₀≠0）．
令x=0，得y=

1

y0

，∴N（0，

1

y0

）；
令y=0，得x=

1

x0

，∴M（

1

x0

，0）．
∴|MN|=

( 1 x0 )2+( 1 y0 )2

=

x02+y02

|x0y0|

，
點O到直線MN的距離d=

1

x02+y02

，
∴S_△OMN=

1

2

d|MN|=

1

2

•

1

|x0y0|

，
∵點P在橢圓C：

x2

9

+y2=1上，
∴1=

x02

9

+y02≥2

x02y02 9

=

2|x0y0|

3

，
當|x₀|=|3y₀|時取等號．
∴2|x₀y₀|≤3，
∴S_△OMN≥

1

2

×

2

3

=

1

3

．
故△MON面積的最小值是

1

3

．

點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合題，考查了橢圓方程的求法，訓練了由圓系方程求過圓的兩切點的直線方程的方法，考查了利用基本不等式求函數最值，屬難題．