已知拋物線y=
1
4
x2，焦點為F．
（1）若直線y=-x+4交拋物線于A、B兩點，求證：OA⊥OB；
（2）若直線L過F交拋物線于M、N兩點，求證∠MON為鈍角．
考點：拋物線的簡單性質
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，設A（x1，y1），B（x2，y2），證明
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0即可；
（2）設直線L：y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立，證明
OM
•
ON
＜0即可．
解答： 證明：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），則
直線與拋物線方程聯(lián)立，消去y得x2-4x-16=0，
∴x1x2=-16，∴y1y2=16，
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0，
∴
OA
⊥
OB
，
∴OA⊥OB；
（2）由題意，F(xiàn)（0，1），設直線L：y=kx+1，
與拋物線方程聯(lián)立，消去y得x2-4kx-4=0，
設M（x3，y3），N（x4，y4），
∴x3x4=-4，∴y3y4=1，
∴
OM
•
ON
=x3x4+y3y4=-4+1=-3＜0，
∴∠MON為鈍角．
點評：考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理、向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設兩圓C1：（x-
2
）2+y2=1和C2：x2+y2+2
2
x=0的圓心分別為C1、C2，G1、G2分別是圓C1、C2上的點，M是動點，且|MC1|+|MC2|=4
（1）求動點M的軌跡L的方程；
（2）設軌跡H與y軸的一個交點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關于直線l的對稱點落在軌跡L上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓A的圓心在直線L1：x+y-3=0上且與直線L2：3x+4y-35=0相切于點B，圓A在直線L3：3x+4y+10=0上截得的弦長CD為6，求圓A的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定點F（0，1）和直線l：y=-1，過點F且與直線l相切的動圓圓心為點M，記點M的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若點A的坐標為（2，1），直線l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）與曲線E相交于B，C兩點，直線AB，AC分別交直線l于點S，T．試判斷以線段ST為直徑的圓是否恒過兩個定點？若是，求這兩個定點的坐標；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的兩個焦點分別為F1（-
3
，0），F(xiàn)2（
3
，0），短軸的兩個端點分別為B1，B2；且△F1B1B2為等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于點M，N，且OM⊥ON，試證明直線l與圓x2+y2=2相切．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某選手欲參加“開心辭典”節(jié)目，但必須通過一項包含5道試題的達標測試．測試規(guī)定：對于提供的5道試題，參加者答對3道題即可通過．為節(jié)省測試時間，同時規(guī)定：若答題不足5道已通過，則停止答題，若答題不足5道，但已確定不能通過，也停止答題．假設該選手答對每道題的概率均為
2
3
，且各題對錯互不影響．
（Ⅰ）求該選手恰好答完4道題就通過點的概率；
（Ⅱ）設在一次測試中該選手答題數(shù)位ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

點P是圓M：（x+1）2+y2=16上一點，點F（1，0），線段PF的垂直平分線和圓M的半徑MP相交于點Q．
（1）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡C的方程；
（2）若直線x=my-1交軌跡C于A、B兩點，求△ABF面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

計算：
lim
n→∞
1
n
[sin
π
n
+sin
2π
n
+…+sin
(n-1)π
n
]．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

私家車具有申請報廢制度．一車主購買車輛時花費15萬，每年的保險費、路橋費、汽油費等約1.5萬元，每年的維修費是一個公差為3000元的等差數(shù)列，第一年維修費為3000元，則該車主申請車輛報廢的最佳年限（使用多少年的年平均費用最少）是
 
年．

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