Question

7．函數(shù)f（x）=2x²-alnx在[1，+∞）內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是（4，+∞）．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）在[1，+∞）內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，可得f′（x）≤0在x∈[1，+∞）內(nèi)成立，運用參數(shù)分離，再由二次函數(shù)的最值，求得最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=4x-$\frac{a}{x}$，
∵函數(shù)f（x）在x∈[1，+∞）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，
∴f′（x）≤0在x∈[1，+∞）內(nèi)成立，
∴4x-$\frac{a}{x}$≤0，即有a≥4x²，
∵x≥1，∴4x²≥4，
則a≥4，
當(dāng)a=4時，f′（x）=4x-$\frac{4}{x}$，
由f′（x）≤0，可得-1≤x≤1，
即有a=4不成立．
∴實數(shù)a的取值范圍是（4，+∞）．
故答案為：（4，+∞）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)成立思想的運用，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．