Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-2^n-1，已知a₁=t，則下列說(shuō)法正確的是①
①數(shù)列{S_n+2ⁿ}是等比數(shù)列；
②當(dāng)t≠-2時(shí)，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2（t+2）•3^n-2-2^n-1；
③若a_n+1≤a_n成立，則t的范圍是t≤-$\frac{3}{2}$；
④若a_n+1≥a_n，則t的最小值是-2．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得${a}_{n+1}=3{a}_{n}+{2}^{n-1}$，然后利用等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{S_n+2ⁿ}是等比數(shù)列；求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入S_n=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-2^n-1，可得n≥2時(shí)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2（t+2）•3^n-2-2^n-1，驗(yàn)證首項(xiàng)不成立，說(shuō)明②錯(cuò)誤；再利用作差法，化為關(guān)于n的函數(shù)，可得使a_n+1≤a_n成立和使a_n+1≥a_n成立的t的取值范圍．

解答 解：①∵S_n=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-2^n-1，
∴$\frac{{S}_{n}+{2}^{n}}{{S}_{n-1}+{2}^{n-1}}=\frac{\frac{{a}_{n+1}}{2}-{2}^{n-1}+{2}^{n}}{\frac{{a}_{n}}{2}-{2}^{n-2}+{2}^{n-1}}$，
∵${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{{a}_{n+1}}{2}-{2}^{n-1}-\frac{{a}_{n}}{2}+{2}^{n-2}$=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2}-{2}^{n-2}$，
∴${a}_{n+1}=3{a}_{n}+{2}^{n-1}$，代入$\frac{{S}_{n}+{2}^{n}}{{S}_{n-1}+{2}^{n-1}}=\frac{\frac{{a}_{n+1}}{2}-{2}^{n-1}+{2}^{n}}{\frac{{a}_{n}}{2}-{2}^{n-2}+{2}^{n-1}}$，
可得$\frac{{S}_{n}+{2}^{n}}{{S}_{n-1}+{2}^{n-1}}=3$，
∴數(shù)列{S_n+2ⁿ}是等比數(shù)列，故①正確；
②∵數(shù)列{S_n+2ⁿ}是等比數(shù)列，且${S}_{1}+{2}^{1}={a}_{1}+2=t+2$，
∴${S}_{n}+{2}^{n}=（t+2）•{3}^{n-1}$，則${S}_{n}=（t+2）•{3}^{n-1}-{2}^{n}$，
${S}_{n-1}=（t+2）•{3}^{n-2}-{2}^{n-1}$（n≥2），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}=2{S}_{n-1}+{2}^{n-1}$=2（t+2）•3^n-2-2ⁿ+2^n-1=2（t+2）•3^n-2-2^n-1，
驗(yàn)證首項(xiàng)不成立，故②不正確；
③${a}_{n}=2（t+2）•{3}^{n-2}-{2}^{n-1}$，${a}_{n+1}=2（t+2）•{3}^{n-1}-{2}^{n}$，
若a_n+1≤a_n，則2（t+2）•3^n-1-2ⁿ-2（t+2）•3^n-2+2^n-1=4（t+2）•3^n-2-2^n-1≤0，
即$4（t+2）≤\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-2}}=2•（\frac{2}{3}）^{n-2}$，∴t+2＜0，則t＜-2，故③錯(cuò)誤．
④由③知，a_n+1≥a_n，則$4（t+2）≥2•（\frac{2}{3}）^{n-2}$，4（t+2）≥3，即t$≥-\frac{5}{4}$，故④錯(cuò)誤．
∴說(shuō)法正確的是①②．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查計(jì)算能力，是難題．