Question

18．已知f（x）=-x²+ax-a+6，x∈[0，1]．
（1）求f（x）的最小值g（a）；
（2）若g（a）＞a²，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的對稱軸，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值，得到g（a）的解析式即可；
（2）分別解出關(guān)于不同范圍內(nèi)的a的不等式，取并集即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的對稱軸是x=$\frac{a}{2}$，
當$\frac{a}{2}$≤0即a≤0時：f（x）在[0，1]遞減，
g（a）=f（x）_min=f（1）=5，
0＜$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$即0＜a＜1時：f（x）在[0，$\frac{a}{2}$）遞增，在（$\frac{a}{2}$，1]遞減，
g（a）=）=f（x）_min=f（1）=5，
$\frac{1}{2}$≤$\frac{a}{2}$＜1即1≤a＜2時：f（x）在[0，$\frac{a}{2}$）遞增，在（$\frac{a}{2}$，1]遞減，
g（a）=）=f（x）_min=f（0）=6-a，
$\frac{a}{2}$≥1即a≥1時：f（x）在[0，1]遞增，
g（a）=）=f（x）_min=f（0）=6-a，
綜上：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{5，a＜1}\\{6-a，a≥1}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得：a＜1時：5＞a²，解得：-$\sqrt{5}$＜a＜1，
a≥1時：6-a＞a²，解得：1≤a＜2，
故a的范圍是：（-$\sqrt{5}$，2）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查解不等式問題，考查分類討論，是一道中檔題．