Question

18．如圖，A、B是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，C是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，且∠AOB=$\frac{π}{6}$，∠COA=θ，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，△AOC的面積為S，則f（θ）=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+2S的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形面積公式可知S=$\frac{1}{2}$sinθ，由向量的數(shù)量積公式推導(dǎo)出f（θ）=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+2S=cos（$θ+\frac{π}{6}$）+sinθ=$sin（θ+\frac{π}{3}）$，由此能求出f（θ）=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+2S的最小值．

解答 解：A、B是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，C是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)
且∠AOB=$\frac{π}{6}$，∠COA=θ，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，△AOC的面積為S，
根據(jù)三角形面積公式可知S=$\frac{1}{2}$sinθ，
$\overrightarrow{OB}$=（cos（$θ+\frac{π}{6}$），sin（$θ+\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow{OC}$=（1，0），
∴f（θ）=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+2S=cos（$θ+\frac{π}{6}$）+sinθ=$sin（θ+\frac{π}{3}）$，
∵θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，∴$θ=\frac{π}{2}$時(shí)，f（θ）_min=sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．