Question

10．已知函數(shù)f（x）=|$\frac{1}{x}-$1|．
（1）若0＜a＜b且f（a）=f（b），求y=a-$\frac{2}$的取值范圍；
（2）若存在正實數(shù)a、b使得函數(shù)f（x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（1）=0，0＜a＜1，b＞1，由f（a）=f（b）得出a、b的關(guān)系，再利用基本不等式即可求得取值范圍；
（2）由函數(shù)y=f （x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0）可判斷出m＞0及a＞0，得a，b∈（1，+∞），
由函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，建立方程，即可得到實數(shù)m所滿足的不等式，解出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|$\frac{1}{x}-$1|，
∴f（1）=0，0＜a＜1，b＞1，且$\frac{1}{a}$-1=-（$\frac{1}$-1）；
化簡得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=2，即$\frac{a+b}{ab}$=2，即a+b=2ab，∴b=$\frac{a}{2a-1}$；
∴a-$\frac{2}$=a-$\frac{2（2a-1）}{a}$=a+$\frac{2}{a}$-4；
當(dāng)0＜a＜1時，a+$\frac{2}{a}$＞3，
∴a+$\frac{2}{a}$-4＞-1，
即y=a-$\frac{2}$的取值范圍是（-1，+∞）；
（2）若存在實數(shù)a，b使函數(shù)y=f（x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0）；
由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0；
由（I）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）時，適合條件的實數(shù)a，b不存在，
故只能是a，b∈（1，+∞）；
∵f（x）=1-$\frac{1}{x}$在∈（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=ma}\\{f（b）=mb}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{a}=ma}\\{1-\frac{1}=mb}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩個不等實根，且二實根均大于1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4m＞0}\\{m-1+1＞0}\\{\frac{1}{2m}＞1}\end{array}\right.$，解得0＜m＜$\frac{1}{4}$，
故實數(shù)m的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問題正確轉(zhuǎn)化，進行分類討論探究，是綜合性較強的題目．