Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*），求a_n．

Answer 1

分析 由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是以1為首項，以3為等比的等比數(shù)列，問題得以解決．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{2}$=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$），
∵a₁=2，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是以1為首項，以3為等比的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=3^n-1，
∴a_n=$\frac{2}{2•{3}^{n-1}-1}$

點評 本題考查數(shù)列遞推式，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵，屬于中檔題．