Question

16．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好經(jīng)過拋物線${x^2}=4\sqrt{3}y$的準(zhǔn)線，且經(jīng)過點(diǎn)$P（-1，\frac{3}{2}）$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l的方程為x=-4．AB是經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)F的任一弦，設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃．試探索k₁，k₂，k₃之間有怎樣的關(guān)系式？給出證明過程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)C方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，利用頂點(diǎn)恰好經(jīng)過拋物線${x^2}=4\sqrt{3}y$的準(zhǔn)線，求出b，根據(jù)橢圓經(jīng)過點(diǎn)$P（-1，\frac{3}{2}）$，求出a，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，即可探索k₁，k₂，k₃之間的關(guān)系式．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)C方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
∵拋物線${x^2}=4\sqrt{3}y$的準(zhǔn)線$y=-\sqrt{3}$，∴$b=\sqrt{3}$…（1分）
由$P（-1，\frac{3}{2}）$點(diǎn)在橢圓上，∴$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{4×3}=1$，∴a²=4…（3分）
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）由題意知，直線斜率存在．
∵F（-1，0），∴設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，…（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$．…（6分）
由題意知M（-4，-3k），${k_1}=\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}+1}}，{k_2}=\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_2}+1}}，{k_3}=\frac{{\frac{3}{2}+3k}}{-1+4}=k+\frac{1}{2}$…（8分）
∵y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），代人k₁，k₂得${k_1}=k-\frac{3}{2}（\frac{1}{{{x_1}+1}}），{k_2}=k-\frac{3}{2}（\frac{1}{{{x_2}+1}}）$，
∴${k_1}+{k_2}=2k-\frac{3}{2}（\frac{1}{{{x_1}+1}}+\frac{1}{{{x_2}+1}}）=2k-\frac{3}{2}\frac{{{x_1}+{x_2}+2}}{{{x_1}{x_2}+（{x_1}+{x_2}）+1}}$…（10分）
=$2k-\frac{3}{2}\frac{{\frac{{-8{k^2}+8{k^2}+6}}{{4{k^2}+3}}}}{{\frac{{4{k^2}-12-8{k^2}+4{k^2}+3}}{{4{k^2}+3}}}}=2k+1$…（12分）
∴k₁+k₂=2k₃…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了分析轉(zhuǎn)化的能力與探究的能力，考查了方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，本題綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量大，極易出錯(cuò)，解答時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)運(yùn)算，嚴(yán)密推理，方能解答出．