Question

7．已知M（$\frac{9}{2}$，0），N（2，0），曲線C上的任意一點(diǎn)P滿足：$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=$\frac{15}{4}$|$\overrightarrow{PN}$|．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C與x軸的交點(diǎn)分別為A、B，過N的任意直線（直線與x軸不重合）與曲線C交于R、Q兩點(diǎn)，直線AR與BQ交于點(diǎn)S．問：點(diǎn)S是否在同一直線上？若是，請(qǐng)求出這條直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），通過M、N點(diǎn)坐標(biāo)，可得$\overrightarrow{MN}$、$\overrightarrow{MP}$、$\overrightarrow{PN}$的坐標(biāo)表示，利用$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=$\frac{15}{4}$|$\overrightarrow{PN}$|計(jì)算即可；
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程并代入曲線C中，化簡后利用韋達(dá)定理計(jì)算即得結(jié)論；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），∵M(jìn)（$\frac{9}{2}$，0），N（2，0），
∴$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{5}{2}$，0），$\overrightarrow{MP}$=（x-$\frac{9}{2}$，y），$\overrightarrow{PN}$=（2-x，-y），
代入$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=$\frac{15}{4}$|$\overrightarrow{PN}$|，化簡得$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
所以曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
（Ⅱ）結(jié)論：點(diǎn)S是在同一條直線x=$\frac{9}{2}$上．
理由如下：
（1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-2），
將直線方程代入曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1中，
化簡得：（5+9k²）x²-36k²x+（36k²-45）=0．
設(shè)點(diǎn)R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=$\frac{36{k}^{2}}{5+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{36{k}^{2}-45}{5+9{k}^{2}}$，
在曲線C的方程中令y=0得x=±3，不妨設(shè)A（-3，0），B（3，0），
則k_BR=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$，則直線BR：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$（x-3）．
同理直線$AQ：y=\frac{{y{\;}_2}}{{{x_2}+3}}（{x+3}）$．
由直線方程BR、AQ，消去y，
得x=$\frac{\frac{3{y}_{1}}{{x}_{1}-3}+\frac{3{y}_{2}}{{x}_{2}+3}}{\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+3}}$=$\frac{6{x}_{1}{x}_{2}+3（{x}_{1}+{x}_{2}）-18{x}_{2}}{5{x}_{1}{x}_{2}-4{x}_{2}-12}$=$\frac{6•\frac{36{k}^{2}-45}{5+9{k}^{2}}+3•\frac{36{k}^{2}}{5+9{k}^{2}}-18{x}_{2}}{5•\frac{36{k}^{2}-45}{5+9{k}^{2}}-4{x}_{2}-12}$=$\frac{9}{2}$，
所以點(diǎn)S是在直線x=$\frac{9}{2}$上；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線方程為x=2．
可得點(diǎn)S的橫坐標(biāo)為$\frac{9}{2}$．
綜合（1）（2）得，點(diǎn)S是在同一條直線x=$\frac{9}{2}$上．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．