Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4，其中C1：，C2：. 設(shè)點(diǎn)P的軌跡為．

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)．問k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】

試題分析：

(1) 通過配方把圓和圓的普通方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得到圓心的坐標(biāo),根據(jù)橢圓的定義可以判斷C點(diǎn)軌跡為橢圓,其中兩個(gè)圓的圓心為焦點(diǎn)可得且橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,根據(jù)題意,李永剛之間的關(guān)系即可求出的值,進(jìn)而得到C的方程.

(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程消元得到二次方程,二次方程的根AB兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到AB兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系,利用得到AB橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求出k的值,再利用橢圓的弦長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)度.

試題解析：

（1）由已知得兩圓的圓心坐標(biāo)分別為. （1分）

設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓． （2分）

它的短半軸長(zhǎng)， （3分）

故曲線C的方程為． （4分）

（2）設(shè)，其坐標(biāo)滿足

消去y并整理得， （5分）

∵， ，∴，

故． （6分）

又 （7分）

于是． （8分）

令，得. （9分）

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所以當(dāng)時(shí)，有，即. （10分）

當(dāng)時(shí)，，． （11分）

， （12分）

而， （13分）

所以． （14分）

考點(diǎn)：弦長(zhǎng) 內(nèi)積 橢圓定義 圓