Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a₂=4，a₁a₄=32，數(shù)列{b_n}滿足：對任意的正整數(shù)n，都有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）若集合M={n|$\frac{_{n}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥λ，n∈N^*}中元素的個數(shù)為4，試求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）將數(shù)列{a_n}與{b_n}按a₁，b₁，a₂，b₂，a₃，b₃，…，a_n，b_n，…的順序排好后，再刪去其中小于2015的項，剩下的項按原來的順序構(gòu)成一個新數(shù)列{c_n}，試求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等比數(shù)列通項公式求出首項和公比，由此能求出a_n．由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，得a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2，n≥2，作差相減能求出b_n．
（2）由已知推導(dǎo)出M={n|$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N^*}中有4個元素，由此利用列舉法能出實數(shù)λ的取值范圍．
（3）由a_n=2ⁿ＜2015，得n＜11，由b_n=n＜2015，得n＜2015，從而T_n=（a₁+a₂+…+a₁₀）+（b₁+b₂+…+b₁₀），由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a₂=4，a₁a₄=32，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=4}\\{{a}_{1}•{a}_{1}{q}^{3}=32}\\{q＞0}\end{array}\right.$，解得a₁=2，q=2，
∴a_n=2ⁿ．
∵數(shù)列{b_n}滿足：對任意的正整數(shù)n，都有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，①
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2，②n≥2
①-②，得：a_nb_n=n•2ⁿ，∴b_n=n．
（2）∵集合M={n|$\frac{_{n}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥λ，n∈N^*}中元素的個數(shù)為4，
∴M={n|$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N^*}中有4個元素，
n=1時，$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$=$\frac{1×2}{2}=1$，
n=2時，$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$=$\frac{2×3}{4}=\frac{3}{2}$＞1，
n=3時，$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$=$\frac{3×4}{8}$=$\frac{3}{2}$＞1，
n=4時，$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$=$\frac{4×5}{16}$=$\frac{5}{4}$＞1，
n=5時，$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$=$\frac{5×6}{32}$=$\frac{15}{16}$＜1，
∴實數(shù)λ的取值范圍是（$\frac{15}{16}$，1]．
（3）由a_n=2ⁿ＜2015，得n＜11，且a₁₀=1024，a₁₁=2048，
由b_n=n＜2015，得n＜2015，且b₂₀₁₄=2014，b₂₀₁₅=2015，
∴T_n=（a₁+a₂+…+a₁₀）+（b₁+b₂+…+b₁₀）
=$\frac{2（1-{2}^{10}）}{1-2}$+$\frac{10（1+10）}{2}$
=2（1024-1）+5×11
=2101．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運用．