Question

1．函數(shù)f（x）=x²-2ax+2，x∈[-1，1]．
（1）討論f（x）在[-1，1]上的奇偶性；
（2）f（x）在[-1，1]上的最小值記為g（a），試寫出g（a）的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．
（2）先將函數(shù)配方，確定函數(shù)的對稱軸，再利用對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，進(jìn)行分類討論，從而可求函數(shù)f（x）=x²-2ax+2在區(qū)間[-1，1]上的最小值．

解答 解：（1）若a=0，則f（x）=x²+2，
則f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
若a≠0，則f（1）=3-2a，f（-1）=3+2a，
則f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），此時(shí)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²．
①當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)增，
∴函數(shù)f（x）的最小值為g（a）=f（-1）=3+2a；
②當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-1，a]上單調(diào)減，在區(qū)間[a，1]上單調(diào)增，
∴f（x）的最小值為g（a）=f（a）=2-a²；
③當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)減，
∴f（x）的最小值為g（a）=f（1）=3-2a．
綜上可知，f（x）的最小值為g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3+2a，}&{a＜-1}\\{2-{a}^{2}，}&{-1≤a≤1}\\{3-2a，}&{a＞1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，解題的關(guān)鍵是正確配方，確定函數(shù)的對稱軸，利用對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，進(jìn)行分類討論．