Question

5．已知θ∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}}$]，則函數(shù)y=tan²θ+2tanθ+3的最小值為2，其相應(yīng)的θ值為$-\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)x=tanθ，由θ∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}}$]和正切函數(shù)的單調(diào)性求出x的范圍，代入原函數(shù)后利用配方法化簡，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，由特殊角的正切值求出θ的值．

解答 解：設(shè)x=tanθ，由θ∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}}$]得x∈$[-\sqrt{3}，1]$，
則原函數(shù)變?yōu)椋篺（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取到最小值2，
此時(shí)θ=$-\frac{π}{4}$，函數(shù)y=tan²θ+2tanθ+3，取到最小值是2，
故答案為：2；$-\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查正切函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)值，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及換元法的應(yīng)用，屬于中檔題．