【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足.
(1)求與的解析式;
(2)若定義在實(shí)數(shù)集上的以2為最小正周期的周期函數(shù),當(dāng)時(shí),,試求在閉區(qū)間上的表達(dá)式,并證明在閉區(qū)間上單調(diào)遞減;
(3)設(shè)(其中為常數(shù)),若對(duì)于恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1),(2);證明見(jiàn)解析(3)
【解析】
(1)根據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)定義,可分別代入得關(guān)于與的方程組,解方程組即可求得與的解析式;
(2)由為以2為最小正周期的周期函數(shù),所以當(dāng)時(shí),即可根據(jù)求得求在閉區(qū)間上的表達(dá)式.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,任取,即可通過(guò)作差法證明函數(shù)的單調(diào)性.
(3)利用換元法,令,由可求得的取值范圍.則.由可知當(dāng)時(shí)滿足,因而可知恒成立.分離參數(shù)可知,結(jié)合基本不等式即可求得的取值范圍.
(1)由①,
因?yàn)?/span>是偶函數(shù),是奇函數(shù)
所以有,即②
∵,定義在實(shí)數(shù)集上
由①和②解得,
(2)是上以2為正周期的周期函數(shù)
所以當(dāng)時(shí),
即在閉區(qū)間上的表達(dá)式為
下面證明在閉區(qū)間上遞減:
,當(dāng)且僅當(dāng)
即時(shí)等號(hào)成立.對(duì)于任意
因?yàn)?/span>,所以,,,,
從而,所以當(dāng)時(shí),遞減
(3)∵在單調(diào)遞增
∴
∴對(duì)于恒成立
∴對(duì)于恒成立
令,則
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,且
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減
∴
∴為的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為創(chuàng)建全國(guó)文明城市,推出“行人闖紅燈系統(tǒng)建設(shè)項(xiàng)目”,將針對(duì)闖紅燈行為進(jìn)行曝光.交警部門(mén)根據(jù)某十字路口以往的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),從穿越該路口的行人中隨機(jī)抽查了人,得到如圖示的列聯(lián)表:
闖紅燈 | 不闖紅燈 | 合計(jì) | |
年齡不超過(guò)歲 | |||
年齡超過(guò)歲 | |||
合計(jì) |
(1)能否有的把握認(rèn)為闖紅燈行為與年齡有關(guān)?
(2)下圖是某路口監(jiān)控設(shè)備抓拍的個(gè)月內(nèi)市民闖紅燈人數(shù)的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)建立與的回歸方程,并估計(jì)該路口月份闖紅燈人數(shù).
附:
,
參考數(shù)據(jù):,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路、,海岸邊界近似地看成一條曲線段.為開(kāi)發(fā)旅游資源,需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道,且直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P(即直線與曲線相切),如圖所示.若曲線段是函數(shù)圖像的一段,點(diǎn)M到、的距離分別為8千米和1千米,點(diǎn)N到的距離為10千米,點(diǎn)P到的距離為2千米.以、分別為x,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)求曲線段的函數(shù)關(guān)系式,并指出其定義域;
(2)求直線的方程,并求出公路的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到1米).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某組委會(huì)要從五名志愿者中選派四人分別從事翻譯導(dǎo)游禮儀司機(jī)四項(xiàng)不同工作,若其中甲不能從事翻譯工作,乙不能從事導(dǎo)游工作,其余三人均能從事這四項(xiàng)工作,則不同的選派方案共有________種.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足.
(1)求與的解析式;
(2)若定義在實(shí)數(shù)集上的以2為最小正周期的周期函數(shù),當(dāng)時(shí),,試求在閉區(qū)間上的表達(dá)式,并證明在閉區(qū)間上單調(diào)遞減;
(3)設(shè)(其中為常數(shù)),若對(duì)于恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題中,真命題是( 。
A.和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線
B.和兩條異面直線都相交于不同點(diǎn)的兩條直線是異面直線
C.和兩條異面直線都垂直的直線是異面直線的公垂線
D.若、是異面直線,、是異面直線,則、是異面直線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是正方形, 平面, , , , , 分別為, , 的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的大小;
(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使直線與直線所成的角為?若存在,求出線段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)一切,點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上.
(1)求,歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式(不必證明).
(2)將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為,,,;,,,;,…,分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為,求的值.
(3)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積,且,求數(shù)列的最大項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先閱讀參考材料,再解決此問(wèn)題:
參考材料:求拋物線弧()與x軸及直線所圍成的封閉圖形的面積
解:把區(qū)間進(jìn)行n等分,得個(gè)分點(diǎn)(),過(guò)分點(diǎn),作x軸的垂線,交拋物線于,并如圖構(gòu)造個(gè)矩形,先求出個(gè)矩形的面積和,再求,即是封閉圖形的面積,又每個(gè)矩形的寬為,第i個(gè)矩形的高為,所以第i個(gè)矩形的面積為;
所以封閉圖形的面積為
閱讀以上材料,并解決此問(wèn)題:已知對(duì)任意大于4的正整數(shù)n,
不等式恒成立,
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______
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